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Introduction À Lanalyse Temps-échelle Et Temps-fréquencePage issue de la présentation de Bruno Torresani (LATP, Université de Provence, Marseille) au groupe de travail Signal MEEG, le 12 janvier 2006. http://www.cmi.univ-mrs.fr/~torresan/ IntroductionLe principe des représentations temps-fréquences (ou temps-échelle) appliquées au traitement du signal est de donner des points de vue "alternatifs" sur le signal étudié. T : x(t)\to X(\lambda)\ ,\quad\lambda\in\Lambda On distingue deux types de problématiques:
contient, éventuellement caractériser la présence ou l'absence de certaines composantes.
il est nécessaire de pouvoir inverser la transformation Illlustration: mélange d'un son de flute et d'un chant d'oiseau  Séparation des deux composantes:   Il existe deux types de représentations temps-fréquence:
W_x(b,\nu) = \int \overline{x}(b-\tau/2) x(b+\tau/2) e^{-2i\pi\nu\tau}\,d\tau
interprétable comme spectre local pour les signaux non-stationnaires, mais difficile à interpréter pour des signaux un tant soit peu complexes. De plus, pas de transformation inverse.
(une fenêtre) g: G_x(b,\nu) = \int x(t)\overline{g}(t-b) e^{-2i\pi\nu t}\, dt
Il existe une (infinité de) transformation(s) inverse(s). L'alternative temps-échelleLes représentations temps-fréquence s'interprêtent comme "spectre variant dans le temps". Dans certains cas, il est plus naturel d'introduire une variable d'échelle plutôt que de fréquence.
T_x(b,a) = \frac1{\sqrt{a}}\, \int x(t) \overline{\psi}\left(\frac{t-b}a\right)\,dt
La transformation de GaborOn considère une fenêtre g; à tout signal x on associe sa transformée de Fourier à court terme Gx: G_x(b,\nu) = \int x(t)\overline{g}(t-b) e^{-2i\pi\nu t}\, dt
Il existe une (infinité de) transformation(s) inverse(s); par exemple, pour une fenêtre (dite de synthèse) h, on peut écrire x(t) = \int\int G_x(b,\nu) e^{2i\pi\nu t} h(t-b)\,dbd\nu\
c'est à dire exprimer x comme combinaison linéaire de Gaborettes h_{(b,\nu)}(t) = e^{2i\pi\nu t} h(t-b)\
Le rôle de la fenêtreLa fenêtre joue un rôle d'outil d'analyse; deux fenêtres différentes peuvent conduire à des lectures très différentes d'un même signal. Illustration d'analyse d'un son de clarinette avec une fenêtre étroite:  Avec fenêtre large:  Un autre exemple, sur la phrase "how are you":  Version discrètePour des raisons pratiques, il est nécessaire de discrétiser la transformation de Fourier à fenêtre: on obtient la transformation de Gabor G_x(m,n) = \int x(t) \overline{g}(t-mb_0) e^{-2i\pi n\nu_0 t}\, dt\
b_0 et \nu_0 étant des constantes. Leur choix conditionne l'inversibilité de la transformation x\to G_x. Pour une fenêtre fixée, il existe une valeur critique \tau <1 telle que pour b_0\nu_0 \le\tau, on puisse écrire x(t) = \sum_{m,n} G_x(m,n) \tilde g(t-mb_0) e^{2i\pi n\nu_0 t}\ ,
où \tilde g est une fenêtre duale. Il existe une infinité de fenêtres duales, dont certaines sont calculables explicitement. Le compromis de la redondancePlus le paramètre de redondance b_0\nu_0 est petit:
fenêtre d'analyse. Mais
sont corrélés): les modifications de la transformée temps-fréquence sont plus difficiles à contrôler.
Exemple de la fenêtre Gaussienne, avec deux valeurs de b_0\nu_0:   La transformation en ondelettesLes ondelettes jouent un rôle assez similaire à celui des "Gaborettes": elles fournissent des représentations alternatives des signaux. Une ondelette est une fonction \psi qui oscille suffisamment pour être d'intégrale nulle. Les ondelettes associées sont des copies translatées et dilatées de \psi \psi_{(b,a)}(t) = \frac1{\sqrt{a}}\,\psi\!\left(\frac{t-b}a\right)\ .
La transformation en ondelettes (continue) associe à tout signal x la fonction de deux variables T_x(b,a) = \frac1{\sqrt{a}}\,\int x(t)\overline{\psi}\!\left(\frac{t-b}a\right)\,dt\ .
Pour des signaux suffisamment oscillants, la variable d'échelle joue un rôle comparable à l'inverse de la variable de fréquence de la transformation de Gabor. Ondelettes: discrétisation
\psi_{jk}(t) = s^{-j/2}\,\psi\!\left(s^{-j}t -k\tau\right)\ ,\quad a_j = s^j,\ b_{jk} = k\tau s^{-j}
Pour des \psi,s,\tau bien choisis, ces ondelettes peuvent former des bases orthonormées de l'espace des signaux: aucune redondance.
uniforme en temps: représentations nécessairement redondantes, mais invariantes par translation. \psi_j^k(t) = s^{-j/2}\,\psi\!\left(s^{-j}(t -k\tau)\right)\ ,\quad a_j = s^j,\ b_{k} = k\tau
Ondelettes vs GaborettesLes Gaborettes ont une taille constante (de même que leur transformée de Fourier: résolution temps-fréquence uniforme). Les ondelettes sont de forme constante, et de taille variable:
détecter et caractériser des év\`enements localisés.
A quoi ça sert ?
Illustration: Gabor   Illustration: Ondelettes   Illustration: Ondelettes et bruit   |